(17)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x1x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

admin2021-01-19 69

问题 (17)设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²-x₂²+ax₃²+2x₁x₂-8x₁x₃+2x₁x₃在正交变换x=Qy下的标准形为λ₁y₁²+λ₂y₂²，求a的值及一个正交矩阵Q．

选项

答案二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为A=[*] 由题设知Q^-1AQ=Q^TAQ=[*]，A的一个特征值为零，所以有 [*] 故得a=2，由A的特征方程 [*] =(λ-6)(λ+3)λ=0 得A的全部特征值，不妨设λ₁=6，λ₂=-3，λ₃=0．对于λ₁=6，解方程组(6I-A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ₁=[*](1，0，-1)^T；对于λ₂=-3，解方程组(-3I-A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ₂=[*](1，-1，1)^T；对于λ₃=0，解方程组Ax=0，对应的单位特征向量可取为ξ₃=[*](1，2，1)^T．因此，所求的正交矩阵可取为 Q=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=[*].

解析

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考研数学二

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(17)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x1x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

考研数学二

设函数f(x)(x≥0)连续可微，f(0)=1，已知曲线y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积与曲线y=f(x)在[0，x]上的弧长值相等，求f(x)．

设u=u(x，y)由方程组确定，其中φ(v)，ψ(v)有连续的二阶导数且yφ’’(v)+ψ’’(v)≠0，求证：

设A是3阶矩阵，有特征值λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝0，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，k1，k2是任意常数，则非齐次方程组Ax＝ξ1﹢ξ2z的通解是()

假设曲线ι1：y=1-x2(0≤x≤1)与x轴，y轴所围成区域被曲线ι2：y=ax2分为面积相等的两部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值．

若n阶行列式中零元素的个数多于n2-n，则该行列式的值为________．

已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12－2χ22＋bχ32－4χ1χ2＋4χ1χ3＋2aχ2χ3(a＞0)经正交变换化成了标准形f＝2y12＋2y22－7y32，求a＝___、b＝_的值和正交矩阵P＝_____．

若二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3为正定二次型，则λ的取值范围是________．

(1992年)设f(χ)＝，则【】

[2008年]微分方程(y+x2e-x)dx—xdy=0的通解是y=_________．

下列各项中都是上声字的是()

处方写锦纹应付

下列关于税务行政复议听证的说法，正确的是()。

网络计划调整时，非关键工作在其时差范围内进行调整的目的有()。

()，岗位胜任特征的研究意义主要体现在工作岗位分析上。

注意事项1.本题本由给定资料与作答要求两部分构成。考试时限为180分钟。其中，阅读给定资料参考时限为60分钟，作答参考时限为120分钟。满分100分。2.监考人员宣布考试开始时，你才可以开始答题。3.请在题本、答题卡指

Childrenare_________forsayingthewrongthingatthewrongtime.

A、Thisisthefirsttimeforthemantowearatie.B、Helookswonderfulwhenheisnotwearingatie.C、Thedesignofthetied

(17)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x1x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

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设函数f(x)(x≥0)连续可微，f(0)=1，已知曲线y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积与曲线y=f(x)在[0，x]上的弧长值相等，求f(x)．

设u=u(x，y)由方程组确定，其中φ(v)，ψ(v)有连续的二阶导数且yφ’’(v)+ψ’’(v)≠0，求证：

设A是3阶矩阵，有特征值λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝0，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，k1，k2是任意常数，则非齐次方程组Ax＝ξ1﹢ξ2z的通解是()

假设曲线ι1：y=1-x2(0≤x≤1)与x轴，y轴所围成区域被曲线ι2：y=ax2分为面积相等的两部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值．

若n阶行列式中零元素的个数多于n2-n，则该行列式的值为________．

已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12－2χ22＋bχ32－4χ1χ2＋4χ1χ3＋2aχ2χ3(a＞0)经正交变换化成了标准形f＝2y12＋2y22－7y32，求a＝_______、b＝_______的值和正交矩阵P＝_______．

若二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3为正定二次型，则λ的取值范围是________．

(1992年)设f(χ)＝，则【】

[2008年]微分方程(y+x2e-x)dx—xdy=0的通解是y=_________．

下列各项中都是上声字的是()

处方写锦纹应付

下列关于税务行政复议听证的说法，正确的是()。

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()，岗位胜任特征的研究意义主要体现在工作岗位分析上。

注意事项1.本题本由给定资料与作答要求两部分构成。考试时限为180分钟。其中，阅读给定资料参考时限为60分钟，作答参考时限为120分钟。满分100分。2.监考人员宣布考试开始时，你才可以开始答题。3.请在题本、答题卡指

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已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12－2χ22＋bχ32－4χ1χ2＋4χ1χ3＋2aχ2χ3(a＞0)经正交变换化成了标准形f＝2y12＋2y22－7y32，求a＝___、b＝_的值和正交矩阵P＝_____．