设Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续的偏导数，且∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，且对任意的t有∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．

admin2019-08-23 27

问题设Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续的偏导数，且∫_L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，且对任意的t有∫_(0,0)^(t,1)2xydx+Q(x，y)dy=∫_(0,0)^(1,t)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．

选项

答案因为曲线积分与路径无关，所以[*]于是Q(x，y)=x²+φ(y)．由∫_(0,0)^(t,1)2xy dx+Q(x，y)dy=∫_(0,0)^1,t2xydx+Q(x，y)dy，得 t²+∫₀¹φ(y)dy=t+∫₀^tφ(y)dy，两边对t求导数得1+φ(t)=2t，φ(t)=2t-1, 所以Q(x，y)=x²+2y一1．

解析

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考研数学一

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在微分方程﹦y－x2的通解中求一个特解y﹦y(x)(x＞0)，使得曲线y﹦y(x)与直线x﹦1，x﹦2及y﹦0所围平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。
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