求曲面z＝1＋χ2＋y2上任一点(χ0，y0，z0)的切平面与z＝χ2＋y2所围成立体Ω的体积，以及当(χ0，y0，z0)＝(0，0，1)时Ω的表面积．

admin2018-06-12 49

问题求曲面z＝1＋χ²＋y²上任一点(χ₀，y₀，z₀)的切平面与z＝χ²＋y²所围成立体Ω的体积，以及当(χ₀，y₀，z₀)＝(0，0，1)时Ω的表面积．

选项

答案①先求曲面z＝1＋χ²＋y²在[*]点(χ₀，y₀，z₀)处的切平面方程为 z＝z₀＋2χ₀(χ－χ₀)＋2y₀(y－y₀)，即z＝1－χ₀²－y₀²＋2χ₀χ＋2y₀y． ②再求切平面与z＝χ²＋y²的交线在χy平面上的投影，由 [*] 消去z得(χ－χ₀)²＋(y－y₀)²＝1．因此投影曲线为(χ－χ₀)²＋(y－y₀)＝1，z＝0． ③求立体的体积．记D：(χ－χ₀)²＋(y－y₀)²≤1，则切平面与z＝χ²＋y²所围成立体的体积 V＝[*][(1－χ₀²－y₀²＋2χ₀χ＋2y₀y)－(χ²＋y²)]dχdy ＝[*]{1－[(χ－χ₀)²＋(y－y₀)²]}dχdy＝π－[*]， [*] ④当(χ₀，y₀，z₀)＝(0，0，1)时求Ω的表面积． Ω的表面由平面部分S₁：z＝1(χ²＋y²≤1)及旋转抛物面部分S₂：z＝χ²＋y²(χ²＋y²≤1)组成，记D：χ²＋y²≤1，则 S₁的面积A₂＝π， S₂的面积 [*] 因此，表面积A＝A₁＋A₂＝[*]π．

解析

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考研数学一

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求曲面z＝1＋χ2＋y2上任一点(χ0，y0，z0)的切平面与z＝χ2＋y2所围成立体Ω的体积，以及当(χ0，y0，z0)＝(0，0，1)时Ω的表面积．

考研数学一

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