首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt. (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt. (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
admin
2014-11-26
48
问题
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt.
(Ⅰ)证明:F’(x)单调增加.
(Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a
2
一1时,求函数f(x).
选项
答案
(Ⅰ)F(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt=∫
-a
x
(x—t)f(t)dt+∫
x
a
(t一x)f(t)dt=x∫
-a
x
f(t)dt-∫
-a
a
tf(t)dt+∫
x
a
tf(t)dt-x∫
x
a
f(t)dt=x∫
-a
x
f(t)dt-∫
-a
a
tf(t)dt-∫
a
x
tf(t)dt+x∫
a
x
f(t)dt F’(x)=∫
-a
x
f(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫
a
x
f(t)dt+xf(x)=∫
a
x
f(t)dt—∫
t
a
f(t)dt 因为F"(x)=2f(x)>0,所以F’(x)为单调增加的函数. (Ⅱ)因为F’(0)=∫
-a
0
f(x)dx—∫
0
a
∫(x)dx且f(x)为偶函数,所以F’(0)=0,又因为F"(0)>0,所以x=0为F(x)的唯一极小点,也为最小点.故最小值为F(0)=∫
-a
a
|t|f(t)dt=2∫
0
a
tf(t)dt. (Ⅲ)由2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
一1两边求导得 2af(a)=f’(a)-2a,于是f’(x)一2xf(x)=2x,解得f(x)=[∫2xe
∫-2xdx
dx+C]e
-∫-2xdx
=[*]一1,在2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
一1中令a=0得f(0)=1,则C=2,于是f(x)=[*]一1.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/wucRFFFM
0
考研数学一
相关试题推荐
设A为3阶实对称矩阵,若矩阵A满足A3+2A2-3A=0,则二次型xTAx经正交变换可化为标准形().
设n阶矩阵A与B等价,下列命题错误的是().
设A为3阶非零矩阵,且满足aij=Aij(i,j=1,2,3),其中Aij为aij的代数余子式,则下列结论中:①A是可逆矩阵;②A是对称矩阵;③A是不可逆矩阵;④A是正交矩阵.正确的个数为().
设A是主对角元素为0的4阶实对称矩阵,E是4阶单位矩阵,,且E+AB是不可逆的对称矩阵,求A.
已知n阶方阵A满足矩阵方程A2-3A-2E=0.证明A可逆,并求出其逆矩阵A-1.
设区域D={(x,y)|x2+y2≤4,x≥0,y≥0},求x2(x2+y2)dxdy.
设平面区域D={(x,y)|x2+y2≤8,y≥},计算
记平面区域D={(x,y)||x|+|y|≤1},计算如下二重积分:,常数λ>0.
设u=,其中函数f,g具有二阶连续导数,求
一半径为R的球沉入水中,球面顶部正好与水面相切,球的密度为1,求将球从水中取出所做的功.
随机试题
小学教师的权利和义务是终身制的。()
Windows7系统提供的桌面图标排列方式不包括()
患者,男,59岁。因尿潴留急诊来院。体格检查:患者膀胱膨隆,顶部可达脐部。遵医嘱立即给予导尿。一次放尿量不超过
在搭接网络计划中,终点节点一般代表的意义为( )。
关于一般代理与独家代理,下列说法正确的是()。
_____heoncefeltlikegivingup,henowhasthedeterminationtopushfurtherandkeepongoing.
The______choiceforaconsumer,therefore,isthechoiceamongtheavailableonesthatwillenablehimorhertomaximizeutili
Ayearagothefirmhada______lossof3milliondollarsor20centsashareafterallnecessarydeduction.
Inmanaginginformationresources,themediummaybethekeytoaneffectivesystem.Themediumisavehicle,atool,oraconta
Ifthesalinity(含盐量)ofoceanwatersisanalyzed,itisfoundtovaryonlyslightlyfromplacetoplace.Nevertheless,someof
最新回复
(
0
)