设y(x)是初值问题的解,则∫0+∞xyˊ(x)dx= ( )

admin2020-02-28  46

问题 设y(x)是初值问题的解,则∫0+∞xyˊ(x)dx=    (    )

选项 A、-1-b+2a.
B、-1+b-2a.
C、-1-b-2a.
D、-1+b-2a.

答案C

解析 y″+2yˊ+y=e-x的通解为
y=(C1+ C1x+Ax2)e-x
其中C1,C2为任意常数.A为某常数,而线性方程的通解为一切解.由此
yˊ=[( C2-C1)+(2A-C2)x-Ax2]e-x
可见,无论C1,C2,A是什么常数,∫0+∞xyˊ(x)dx收敛.于是由分部积分法和原给的式子y=e-x-y″-2yˊ,可得
0+∞xyˊ(x)dx=∫0+∞xdy(x)
= xy(x)| 0+∞-∫0+∞y(x)dx
=0-0-∫0+∞[e-x-y″(x)-2yˊ(x)]dx
=[e-x+yˊ(x)+2y(x)]|0+∞
=(0+0+0)-[1+yˊ(0)+2y(0)]
=-1-b-2a.
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