设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)一1,试证:对任何满足0<k<1的常数k,存在点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=一k.

admin2019-02-26  39

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)一1,试证:对任何满足0<k<1的常数k,存在点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=一k.

选项

答案作辅助函数F(x)=f(x)+kx,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F’(x)=f’(x)+k. 由f(0)=f(1)一1,[*]F(1)= 1+k,所以,[*]<F(0)<F(1). 由介值定理,存在点c∈[*]使得F(c)=F(0).因此,F(x)在[0,c]上连续,在(0,c)内可导,且F(0)=F(c).由洛尔定理,存在点ξ∈(0,c)[*](0,1),使得F’(ξ)=f’(ξ)+k=0,即f’(ξ)=一k.

解析 这是讨论函数在某点取定值的问题,可转化为导函数的存在性问题.
     f’(ξ)=一k<=>f’(ξ)+k=0
     <=>[f(x)+kx]’|x=ξ=0
    <=>F(x)= f(x)+kx的导数在(0,1)内有零点.
于是,我们只要验证F(x)在[0,1]上或其子区间上满足洛尔定理的全部条件.
在本题的证明过程中综合运用了辅助函数法和辅助区间法,构造辅助函数的方法是:将待证的结论变形为f’(ξ)+k=0,即函数F(x)=f(x)+kx的导函数在(0,1)内存在零点的形式.然后取该函数作为用洛尔定理证明本题的辅助函数.由于F(x)在区间[0,1]的端点的值不相等,再由已知条件和介值定理构造使F(x)在端点值相等的辅助区间[0,c],c∈然后应用洛尔定理得到要证明的结论.
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