2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)一1，试证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=一k．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)一1，试证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=一k．

admin2019-02-26  39
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)一1，试证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=一k．
选项
答案作辅助函数F(x)=f(x)+kx，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F’(x)=f’(x)+k． 由f(0)=f(1)一1，[*]F(1)= 1+k，所以，[*]＜F(0)＜F(1)． 由介值定理，存在点c∈[*]使得F(c)=F(0)．因此，F(x)在[0，c]上连续，在(0，c)内可导，且F(0)=F(c)．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得F’(ξ)=f’(ξ)+k=0，即f’(ξ)=一k．
解析 这是讨论函数在某点取定值的问题，可转化为导函数的存在性问题．
     f’(ξ)=一k<=>f’(ξ)+k=0
     <=>[f(x)+kx]’｜x=ξ=0
    <=>F(x)= f(x)+kx的导数在(0，1)内有零点．
于是，我们只要验证F(x)在[0，1]上或其子区间上满足洛尔定理的全部条件．
在本题的证明过程中综合运用了辅助函数法和辅助区间法，构造辅助函数的方法是：将待证的结论变形为f’(ξ)+k=0，即函数F(x)=f(x)+kx的导函数在(0，1)内存在零点的形式．然后取该函数作为用洛尔定理证明本题的辅助函数．由于F(x)在区间[0，1]的端点的值不相等，再由已知条件和介值定理构造使F(x)在端点值相等的辅助区间[0，c]，c∈然后应用洛尔定理得到要证明的结论．
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