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[2009年] 计算二重积分(x—y)dxdy,其中D={(x,y)∣(x一1)2+(y一1)2≤2,y≥x).
[2009年] 计算二重积分(x—y)dxdy,其中D={(x,y)∣(x一1)2+(y一1)2≤2,y≥x).
admin
2019-05-10
40
问题
[2009年] 计算二重积分
(x—y)dxdy,其中D={(x,y)∣(x一1)
2
+(y一1)
2
≤2,y≥x).
选项
答案
D为圆域的一部分,可用极坐标系计算.极点可选在圆心上,也可选在点(1,1)上,如用直角坐标计算,则要分区域计算. [*] 解一 设x=rcosθ,y=rsinθ(以原点为极点),由 (x一1)
2
+(y一1)
2
=2得到 x
2
+y
2
=r
2
=2(x+y)=2r(cosθ+sinθ), 即 r=2(cosθ+sinθ), D={(r,θ)∣π/4≤0≤3π/4,0≤r≤2(cosθ+sinθ)}, 则 [*](x—y)dxdy=∫
π/4
3π/4
dθ∫
0
2(sinθ+cosθ)
r(cosθ—sinθ)rdr=∫
π/4
3π/4
[[*](cosθ-sinθ)r
3
∣
0
2(sinθ+cosθ)
]dθ =∫
π/4
3π/4
[*](cosθ一sinθ).(sinθ+cosθ).(sinθ+cosθ)
2
dθ =[*]∫
π/4
3π/4
(sinθ+cosθ)
3
d(sinθ+cosθ) =[*] 解二 设x一1=rcosθ,y一1=rsinθ,则由 (x一1)
2
+(y一1)
2
=r
2
cos
2
θ+r
2
sin
2
θ=r
2
=2, 得到r=√2.由D的图形已看出π/4≤θ≤5π/4,则以圆心(1,1)为极点的积分区域为 D={(r,θ)∣π/4≤0≤5π/4,0≤r≤√2), 因而[*](x—y)dxdy=∫
π/4
5π/4
dθ∫
0
√2
(cosθ一sinθ)rdr=∫
π/4
5π/4
(cosθ一sinθ)[*]r
3
∣
0
√2
dθ =[*]∫
π/4
5π/4
(cosθ一sinθ)dθ=[*]∫
π/4
5π/4
d(sinθ+cosθ) [*]
解析
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考研数学二
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