设A，B为n阶矩阵，且A，B等价，则下列结论正确的是( )．

admin2022-12-09 8

问题设A，B为n阶矩阵，且A，B等价，则下列结论正确的是( )．

选项 A、A与B相似
B、|A|=|B|
C、A，B都可对角化
D、存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B．

答案D

解析 A，B等价的充分必要条件是r(A)=r(B)，
取A=

显然r(A)=r(B)=2，即A，B等价，
因为A，B特征值不同，所以A，B不相似，(A)不对；显然|A|≠|B|，(B)不对；
A为对角矩阵，显然B的特征值为λ₁=λ₂1且r(E-B)=1，矩阵B不可相似对角化，(C)不对，应选(D)．
事实上，因为A，B等价，所以存在初等矩阵P₁，P₂，…，P_s，Q₁，Q₂，…，Q_t，使得
P₁P₂…P_sAQ₁Q₂…Q_t=B，
令P=P₁P₂…P_s，Q=Q₁Q₂…Q_t，显然P，Q可逆且PAQ=B．

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