2. 考研
  3. 设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，则矩阵AA*的全部特征值为_________，特征向量为_________.

设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，则矩阵AA*的全部特征值为_________，特征向量为_________.

admin2019-07-17  38
问题 设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，则矩阵AA*的全部特征值为_________，特征向量为_________.
选项
答案特征值为λ=｜A｜，特征向量k1e1+k2e2……+knen，其中k1,k2,……，kn为Rn的标准正交基，k1,k2,……，kn是不同时为零的任意常数．
解析 本题考查特征值与特征向量的概念和求法．由于矩阵A可逆，故｜A｜≠0，又因为AA*=｜A｜E，即得｜AA*一｜A｜E｜=0，因此矩阵AA*的全部特征值为λ=｜A｜，是n重特征值．对于λ=｜A｜，λE—AA*=｜A｜E—｜A｜E=O，显然任何一个非零的n维向量都是方程组(λE一AA*)x=0的非零解，从而矩阵AA*的属于λ=｜A｜的特征向量为k1e1+k2e2+…+knen，其中e1，e2，…，en为Rn中的标准正交基，k1,k2,……，kn是不同时为零的任意常数．
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考研数学二

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