设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“MN”表示“M的充分必要条件是N”,则必有( )

admin2018-04-14  34

问题 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“MN”表示“M的充分必要条件是N”,则必有(    )

选项 A、F(x)是偶函数f(x)是奇函数。
B、F(x)是奇函数f(x)是偶函数。
C、F(x)是周期函数f(x)是周期函数。
D、F(x)是单调函数f(x)是单调函数。

答案A

解析 方法一:f(x)的原函数可以表示为F(x)=∫0xf(t)dt+C。如果F(x)为偶函数,则F(-x)=F(x),等式两边同时求导可得-f(-x)=f(x),可知f(x)为奇函数。
如果f(x)为奇函数,F(-x)=∫0-xf(t)dt+C,对其作变量代换,令u=-t可得
F(-x)=∫0xf(-u)(-du)+C=∫0x-f(u)(-du)+C=∫0xf(u)du+C=F(x),
可知F(x)为偶函数。
综上所述,选项A是正确的。
方法二:举反例排除。令f(x)=x2,F(x)=x3+1,可知f(x)为偶函数时,F(x)不一定为奇函数;令f(x)=cosx+1,F(x)=sinx+x,可知f(x)为周期函数时,F(x)不一定为周期函数;令f(x)=x,F(x)=1/2x2,可知f(x)为单调函数时,F(x)不一定为单调函数。由此只有选项A是正确的。
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