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将任意给定的序列1,2,…,n指定为一棵树的先根遍历序列;同时任意给定这n个数值(1,2,…,n)的一个排列p1,p2…pn为这棵树的后根遍历序列。 (1)根据这样的先根遍历序列和后根遍历序列,是否都可以得到一棵树?如果能够,请简述理由(不要求形式化证
将任意给定的序列1,2,…,n指定为一棵树的先根遍历序列;同时任意给定这n个数值(1,2,…,n)的一个排列p1,p2…pn为这棵树的后根遍历序列。 (1)根据这样的先根遍历序列和后根遍历序列,是否都可以得到一棵树?如果能够,请简述理由(不要求形式化证
admin
2013-12-31
44
问题
将任意给定的序列1,2,…,n指定为一棵树的先根遍历序列;同时任意给定这n个数值(1,2,…,n)的一个排列p
1
,p
2
…p
n
为这棵树的后根遍历序列。
(1)根据这样的先根遍历序列和后根遍历序列,是否都可以得到一棵树?如果能够,请简述理由(不要求形式化证明)。如果不能,请给出一个简单反例。
(2)如果能得到树,所得到的树是否唯一?如果能够,请简述理由(不要求形式化证明)。如果不能,请给出一个简单反例。
选项
答案
(1)不一定能得到一棵树。 反例(给出任何一个正确的反例即可): 反例1:对于先根遍历序列{1,2,3,4},后根遍历序列{1,3,2,4}这种情况,就无法得到一棵树。 反例2:对于先根遍历序列{1,2,3,4},后根遍历序列(4,2,3,1}这种情况,也不能得到一棵树。 理由(题目并不要求说明理由,如果说清了理由而没有给出反例,也可以得分): 理由一:若一棵树的先根遍历序列为{1,2,3,4},则1必为树根,该树的后根遍历序列中“1"一定在最后,故根据最后数字不为“1”的后根序列与先根序列{1,2,3,4)就无法得到一棵树。 理由二:一棵树可以转换成一棵没有右子树的二叉树,反之亦然。所以,对于n个结点的树,可以等价地考虑相应的除去根结点(即1)以外的(n-1)个结点的二叉树问题。在这里2,3,…,n就是相应的二叉树的先序遍历序列p
1
,p
2
,…p
n-1
就是相应二叉树的中序遍历序列。对于n个结点的树,可以等价地考虑相应的n-1个结点的二叉树问题。该问题转换为:指定2,3,…,n这n-1个数为一棵二叉树先序遍历序列;同时p
1
,p
2
,…p
n-1
(其中p
1
,p
2
,…p
n-1
,为2,3,…,n这n-1个数值的一个排列)为这棵树的二叉树中序遍历序列。是否都可以得到一棵二叉树? 可以证明:对于一棵先序遍历序列为1,2,…,n的二叉树,在中序遍历时其被涉及的顺序也就是进入运行栈的顺序就是1,2,…,n,其中中序遍历顺序,则是一种可能的出栈顺序。有可能从初始输入序列1,2,…,n,利用一个栈得到输出序列p
1
,p
2
,…p
n
(p
1
,p
2
,…p
n
是1,2,…,n的一种排列)的充分必要条件是:不存在这样的i,j,k,满足i<j<k同时p
j
<p
k
<p
i
。 因此,先根序列1,2,…,n和后根序列p
1
,p
2
,…p
n-1
,1能够得到一棵树的充分必要条件是不存在下标i,j,k,满足i<j<k同时p
j
<p
k
<p
i
。 (2)如(1)所述,不一定能得到一棵树。但是如果所给出的序列合法,就能够得到一棵树,而且得到的树是唯一的。 所谓合法序列是指:先根遍历序列为1,2,…,n,后根遍历序列为p
1
,p
2
,…,p
n
,那么 只有当p
n
=1时,而且在p
1
,p
2
,…,p
n-1
中不存在这样的i,j,k,满足i<j<k同时p
j
<p
k
<p
i
。(不要求考生说明什么是合法的) 理由一:一棵树可以转换成一棵没有右子树的二叉树,反之亦然。所以,对于n个结点的树,可以等价地考虑相应的除去根结点(即1)以外的(n-1)个结点的二叉树问题。 在这里2,3,…,n就是相应二叉树的先序遍历序列p
1
,p
2
,…,p
n-1
就是相应二叉树的中序遍历序列——二叉树先序序列为DLR,二叉树中序序列为LDR,因此可以定位二叉树的根,然后定位出二叉树的左右子树并对左右子树做类似的递归处理,故所的二叉树是唯一的。因此相应的树也是唯一的。 理由二:对于合法的序列:先根序列为1,2,…,n,后根序列为p
1
,p
2
,…,p
n-1
,首先可以确定树根为1。其子树形成的森林的先根序列为2,…,n,后根序列为p
1
,p
2
,…,p
n-1
,这些森林被分成m(m≥0)个不相交的集合T
1
,T
2
,…,T
m
,而且这些集合的每一个又都是树,在先根序列中按照T
1
,T
2
,…,T
m
的结点顺序出现,在后根序列中也按照T
1
,T
2
,…,T
m
的结点顺序出现(但是对应的每个集T
1
中,结点出现的顺序不同)。因此可以找到每棵子树的结点集合,然后进行递归处理,最终只能得到一棵确定的树。
解析
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