设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O，已知A的秩R(A)=2． (1)求A的全部特征值． (2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

admin2020-09-25 78

问题设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A²+2A=O，已知A的秩R(A)=2．
(1)求A的全部特征值．
(2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

选项

答案(1)设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则Aα=λα，A²α=λ²α，于是(A²+2A)α=(λ²+2λ)α．由条件A²+2A=O推知(λ²+2λ)α=0．又由于α≠0，故有λ²+2λ=0，解得λ=一2，λ=0．因为实对称矩阵A必可对角化，且R(A)=2，所以A～[*] 因此，矩阵A的全部特征值为λ₁=λ₂=一2，λ₃=0． (2)矩阵A+kE仍为实对称矩阵．由(1)知，A+kE的全部特征值为一2+k，一2+k，k．于是，当k＞2时矩阵A+kE的全部特征值大于零．因此，矩阵A+kE为正定矩阵．

解析

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考研数学三

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设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O，已知A的秩R(A)=2． (1)求A的全部特征值． (2)当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

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