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已知n维向量α1，α2，α3线性无关，若β1，β2，β3可用α1，α2，α3线性表示，设(β1，β2，β3)＝(α1，α2，α3)C，证明：β1，β2，β3线性无关的充分必要条件是｜C｜≠0．
已知n维向量α1，α2，α3线性无关，若β1，β2，β3可用α1，α2，α3线性表示，设(β1，β2，β3)＝(α1，α2，α3)C，证明：β1，β2，β3线性无关的充分必要条件是｜C｜≠0．
admin
2020-06-05
31
问题
已知n维向量α
1
，α
2
，α
3
线性无关，若β
1
，β
2
，β
3
可用α
1
，α
2
，α
3
线性表示，设(β
1
，β
2
，β
3
)＝(α
1
，α
2
，α
3
)C，证明：β
1
，β
2
，β
3
线性无关的充分必要条件是｜C｜≠0．
选项
答案
记A＝(α
1
，α
2
，α
3
)，B＝(β
1
，β
2
，β
3
)． 必要性． 若β
1
，β
2
，β
3
线性无关，则秩R(B)＝R(β
1
，β
2
，β
3
)＝3．又R(B)＝R(AC)≤R(C)≤3，因此，R(C)＝3，即矩阵C可逆，｜C｜≠0． 充分性． 若｜C｜≠0，即矩阵C可逆，那么R(B)＝R(AC)＝R(A)＝R(α
1
，α
2
，α
3
)＝3，所以β
1
，β
2
，β
3
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/wA9RFFFM
0
考研数学一
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