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  3. 设矩阵 矩阵B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

设矩阵 矩阵B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

admin2018-11-22  18
问题 设矩阵

矩阵B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．
选项
答案经计算可得 [*] 得B+2E的特征值为 λ1=λ2=9，λ3=3． 对于λ1=λ2=9，由 [*] 所以对应于特征值λ1=λ2=9的全部特征向量为 k1η1+k2η2=k1(一1，1，0)T+k2(一2，0，1)T 其中k1，k2是不全为零的任意常数． 对于λ3=3，对应的一个特征向量可取为 η3=(0，1，1)T 所以对应于特征值λ3=3的全部特征向量为k3η3=k3(0，1，1) T，其中k3是不为零的任意常数．
解析 本题是三阶方阵的一系列常规计算问题，按部就班也不难作出来．但如果利用相似矩阵及矩阵特征值的一些常用性质(例如：(1)若A与B相似，则对任意多项式f，有f(A)与f(B)相似．(2)相似矩阵有相同的特征值．等等)，则本题运算还可简化．
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考研数学一

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