2. 考研
  3. 设向量组α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，判断向量组β，α1，α2，α3的线性相关性．

设向量组α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，判断向量组β，α1，α2，α3的线性相关性．

admin2021-12-15  39
问题 设向量组α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，判断向量组β，α1，α2，α3的线性相关性．
选项
答案设一组数k0，k1，k2，k3，使得 k0β+k1α1+k2α2+k3α3=0， 左乘系数矩阵A，由于αi(i=1，2，3)为方程组Ax=0的解，有Aαi=0(i=1，2，3)，β 不是方程组Ax=0的解，有Aβ≠0，于是有 k0Aβ+k1Aα1+k2Aα2+k3Aα3=k0Aβ=0， 得k0=0，从而有 k1α1+k2α2+k3α3=0， 又因为α1，α2，α3为Ax=0的基础解系，必线性无关，必有k1=k2=k3=0． 综上讨论，向量组β，α1，α2，α3线性无关．
解析 此题线性相关性的讨论涉及方程组解的性质．一般而言，如果α1，α2，…，αn－r是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，β是非齐次方程组Ax=b的一个特解，则利用本题方法可以证明向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αn－r必线性无关．结果表明，若n元非齐次方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r(＜n)，则方程组Ax=b共有n－r+1个无关解向量．
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经济类联考综合能力

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