三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y21＋y22－2y23，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为a1＝，求此二次型．

admin2019-11-25 26

问题三元二次型f＝X^TAX经过正交变换化为标准形f＝y²₁＋y²₂－2y²₃，且A^*＋2E的非零特征值对应的特征向量为a₁＝

，求此二次型．

选项

答案因为f＝X^TAX经过正交变换后的标准形为f＝y²₁＋y²₂－2y²₃，所以矩阵A的特征值为λ₁＝λ₂＝1，λ₃＝－2．由｜A｜＝λ₁λ₂λ₃＝－2得A^*的特征值μ₁＝μ₂＝－2，μ₃＝l，从而A^*＋2E的特征值为0，0，3，即a₁为A^*＋2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ₃＝－2的特征向量．令A的属于特征值λ₁＝λ₂＝1的特征向量为a＝[*]，因为A为实对称矩阵，所以有 a^T₁a＝0，即x₁＋x₃＝0，故矩阵A的属于λ₁＝λ₂＝1的特征向量为 a₂＝[*]，a₃＝[*]，令P＝(a₂，a₂，a₃)＝[*]，由P^－1AP＝[*]，得A＝P[*]P^－1＝[*]，所求的二次型为 f＝X^TAX＝－[*]x²₁＋x²₂－[*]x²₃－3x₁₃．

解析

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考研数学三

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三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y21＋y22－2y23，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为a1＝，求此二次型．

考研数学三

随机变量列X1，X2，…，Xn，…服从大数定律，其成立的充分条件为随机变量列X1，X2，…，Xn…()

设f(x)=试问当α取何值时，f(t)在点x=0处，(1)连续；(2)可导；(3)一阶导数连续；(4)二阶导数存在．

设矩阵A=且|A|=一1，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，属于λ0的特征向量为α=[一1，一1，1]T，求a，b，c及λ0的值．

设三元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T，η2+η3=[2，一1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求该非齐次方程的通解．

设f(x)=f(一x)，且在(0，+∞)内二阶可导，又f’(x)＞0，f"(x)＜0，则f(x)在(一∞，0)内的单调性和图形的凹凸性是()

设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．

设n维行向量矩阵A=E一αTα,B=E+2αTα，则AB=()

已知y1=xex+e2x和y2=xex+e-x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为()

二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22，Q的第3列为①求A．②证明A+E是正定矩阵．

已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为又P{X=1}=0．5，且X与Y不相关．(I)求未知参数a，b，c；(Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X，Y)=1}是否独立，为什么?(Ⅲ)随机变量X+Y与X—Y是否相关，是否独

下列疾病常有贫血和脾大，除外

A．硅质B．菊糖C．黏液D．草酸钙结晶E．碳酸钙结晶钌红试液用于检查()

A．支气管痉挛B．延迟性呼吸抑制C．反流与误吸D．气管受压E．舌后坠患者，男，38岁。肺叶切除，进行肺部操作时突觉呼吸道阻力增加，呼气时呼吸囊膨胀欠佳。可能原因是

施工现场的道路应当设置交通指示标志。通告危险的地段应当悬挂（）,夜间设置红灯示警。在车辆、行人通过的地方施工,应当对沟、坑、井等进行覆盖,并设置施工标志和防护设施。

自动调节系统中，具有被调参数随变化的给定值以一定的精度、准确、稳定而快速地跟踪变化之特点的调节系统是(　　)。

我国被称为“世界屋脊”的高原是指()

存款储蓄有多种形式，其中能够最大限度地吸收社会闲散资金的有效形式是()。

某村连遭灾害天气，农民生产歉收，为保证农民的基本生活，国家投入两个亿支援该村的生产活动，这属于国家财政支出中的：

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设矩阵A=且|A|=一1，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，属于λ0的特征向量为α=[一1，一1，1]T，求a，b，c及λ0的值．

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设f(x)=f(一x)，且在(0，+∞)内二阶可导，又f’(x)＞0，f"(x)＜0，则f(x)在(一∞，0)内的单调性和图形的凹凸性是()

设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．

设n维行向量矩阵A=E一αTα,B=E+2αTα，则AB=()

已知y1=xex+e2x和y2=xex+e-x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为()

二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22，Q的第3列为①求A．②证明A+E是正定矩阵．

已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为又P{X=1}=0．5，且X与Y不相关．(I)求未知参数a，b，c；(Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X，Y)=1}是否独立，为什么?(Ⅲ)随机变量X+Y与X—Y是否相关，是否独

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A．硅质B．菊糖C．黏液D．草酸钙结晶E．碳酸钙结晶钌红试液用于检查()

A．支气管痉挛B．延迟性呼吸抑制C．反流与误吸D．气管受压E．舌后坠患者，男，38岁。肺叶切除，进行肺部操作时突觉呼吸道阻力增加，呼气时呼吸囊膨胀欠佳。可能原因是

施工现场的道路应当设置交通指示标志。通告危险的地段应当悬挂（）,夜间设置红灯示警。在车辆、行人通过的地方施工,应当对沟、坑、井等进行覆盖,并设置施工标志和防护设施。

自动调节系统中，具有被调参数随变化的给定值以一定的精度、准确、稳定而快速地跟踪变化之特点的调节系统是( )。

我国被称为“世界屋脊”的高原是指()

存款储蓄有多种形式，其中能够最大限度地吸收社会闲散资金的有效形式是()。

某村连遭灾害天气，农民生产歉收，为保证农民的基本生活，国家投入两个亿支援该村的生产活动，这属于国家财政支出中的：

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自动调节系统中，具有被调参数随变化的给定值以一定的精度、准确、稳定而快速地跟踪变化之特点的调节系统是(　　)。

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