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  3. 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则

设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则

admin2014-01-26  37
问题 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则
选项 A、当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．
B、当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．
C、当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．
D、当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．
答案A
解析 [分析]  本题涉及原函数的基本特性，由于原函数有无穷多个，如何表示它是问题的关键．实际上，只要找出一个原函数，则所有的原函数就可表示出来，而F(x)＝∫0xf(t)dt正好就是所需要的一个原函数．
[详解]f(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)＝∫0xf(t)dt＋C，于是

当f(x)为奇函数时，f(－u)＝－f(u)，从而有

  即F(x)为偶函数，
  故应选(A)．
  至于选项(B)、(C)、(D)，可分别举反例如下：f(x)＝x2是偶函数，但其原函数F(x)＝，不是奇函数，可排除(B)；f(x)＝cos2x是周期函数，但其原函数F(x)＝不是周期函数，可排除(C)；f(x)＝x在区间(－∞，＋∞)内是单调增函数，但其原函数在区间(－∞，＋∞)内非单调增函数，可排除(D)．
[评注1]  有些考生将原函数写成形如：F(x)＝∫0af(t)dt＋C，结果在推导F(x)＝F(x)时遇到困难，因此特殊形式的原函数∫0xf(t)dt是值得注意的．
[评注2]  函数的基本性质有：奇偶性、周期性、单凋性和有界性，当f(x)具有某性质时，F(x)是否也具有相应的性质?或反过来考虑，当F(x)具有某性质时，f(x)是否也具有相应的性质?本题也可变形为考虑f(x)与f’(x)(或f’(x)与f(x))的性质之间的关系，对于常见的结论与反例应做到心中有数．
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考研数学二

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