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设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则
设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则
admin
2014-01-26
39
问题
设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则
选项
A、当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数.
B、当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数.
C、当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数.
D、当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数.
答案
A
解析
[分析] 本题涉及原函数的基本特性,由于原函数有无穷多个,如何表示它是问题的关键.实际上,只要找出一个原函数,则所有的原函数就可表示出来,而F(x)=∫
0
x
f(t)dt正好就是所需要的一个原函数.
[详解]f(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=∫
0
x
f(t)dt+C,于是
当f(x)为奇函数时,f(-u)=-f(u),从而有
即F(x)为偶函数,
故应选(A).
至于选项(B)、(C)、(D),可分别举反例如下:f(x)=x
2
是偶函数,但其原函数F(x)=
,不是奇函数,可排除(B);f(x)=cos
2
x是周期函数,但其原函数F(x)=
不是周期函数,可排除(C);f(x)=x在区间(-∞,+∞)内是单调增函数,但其原函数
在区间(-∞,+∞)内非单调增函数,可排除(D).
[评注1] 有些考生将原函数写成形如:F(x)=∫
0
a
f(t)dt+C,结果在推导F(x)=F(x)时遇到困难,因此特殊形式的原函数∫
0
x
f(t)dt是值得注意的.
[评注2] 函数的基本性质有:奇偶性、周期性、单凋性和有界性,当f(x)具有某性质时,F(x)是否也具有相应的性质?或反过来考虑,当F(x)具有某性质时,f(x)是否也具有相应的性质?本题也可变形为考虑f(x)与f’(x)(或f’(x)与f(x))的性质之间的关系,对于常见的结论与反例应做到心中有数.
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考研数学二
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