设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0。证明:存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)+λf(ξ)=0。

admin2018-12-27  26

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0。证明:存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)+λf(ξ)=0。

选项

答案令F(x)=eλxf(x),则F’(x)=eλxf’(x)+λf(x)eλx,显然F(a)=F(b)=0,由罗尔定理知,必存在一点ξ∈(a,b),使F’(ξ)=0,即 eλξ[f’(ξ)+λf(ξ)]=0, 但eλξ≠0,则f’(ξ)+λf(ξ)=0。故原题得证。

解析
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