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  3. 计算I=(x+y+z)2dv，其中Ω为由球面x2+y2+z2=2和抛物面z=x2+y2所围成．

计算I=(x+y+z)2dv，其中Ω为由球面x2+y2+z2=2和抛物面z=x2+y2所围成．

admin2019-07-24  16
问题 计算I=(x+y+z)2dv，其中Ω为由球面x2+y2+z2=2和抛物面z=x2+y2所围成．
选项
答案因(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx中xy+yz为y的奇函数，Ω关于平面xOz对称，故[*](xy+yz)dv=0．又Ω关于平面yOz也对称，而xz为x的奇函数，故 [*](x2+y2+z2)dv． 由[*]x2dv，其中Ω1={x，y，z)｜x2+y2≤z，x2+y2+z2≤2,x≥0)．利用柱面坐标易求得 [*] 同法可求得[*] 故[*](x2+y2+z2)dxdydz=[*]一89)．
解析 注意到Ω关于z轴即平面xOz对称，要充分利用被积函数的子函数的奇偶性以简化计算，计算时用柱面坐标系求之．
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考研数学一

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