2. 考研
  3. 设二阶常微分方程y"+αy′+βy=γex的一个解为y=e2x+(1+x)ex．试确定常数α，β，γ，并求出它的通解．

设二阶常微分方程y"+αy′+βy=γex的一个解为y=e2x+(1+x)ex．试确定常数α，β，γ，并求出它的通解．

admin2020-04-02  24
问题 设二阶常微分方程y"+αy′+βy=γex的一个解为y=e2x+(1+x)ex．试确定常数α，β，γ，并求出它的通解．
选项
答案方法一 将y=e2x+(1+x)ex代入方程y"+αy′+βy=γex，可得 (4+2α+β)e2x+(3+2α+β)ex+(1+α+β)xex≡γex 于是 4+2α+β=0，3+2α+β=γ，1+α+β=0 解之得α=－3，β=2，γ=－1，所求通解为y=C1ex+C2e2x+xex． 方法二 由于方程的解中含有e2x，xex，且有非齐次项yex，从而2和1是对应齐次方程的两个特征根，故特征方程为(r－2)(r－1)=0，即r2一3r+2=0，从而α=－3，β=2，再将y*=xex代入y"+αy′+βy=γex可得γ=－1．其余步骤同方法一．
解析
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考研数学一

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