[2004年] 设A,B为两个随机事件,且P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,令 求 X与Y的相关系数ρXY;

admin2019-05-11  43

问题 [2004年]  设A,B为两个随机事件,且P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,令
        

X与Y的相关系数ρXY

选项

答案解一 用同一表格法求之.为此,将(X,Y)的概率分布改写下述形式: [*] 由上表即得,随机变量,X,X2,Y,Y2,XY,X2+Y2的概率分布分别为 [*] 因而E(X)=1/4, E(X2)=1/4, E(Y)=1/6, E(Y2)=1/6, E(XY)=1/12. D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/4-(1/4)2=3/16, D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=1/6-(1/6)2=5/36. cov(X,Y)=](XY)一E(X)E(Y)=1/12=(1/4)(1/6)=1/24, [*] 解二 由(1)中(X,Y)的联合分布表即表①知,X,Y分别服从参数为1/4,1/6的0-1分布.由命题3.3.1.3即得 E(X)=1/4,D(X)=(1/4)(1-1/4)=3/16, E(Y)=1/6,D(Y)=(1/6)(1-1/6)=5/36, E(XY)=P(X=1,Y=1)=1/12. 于是 cov(X,Y)=E(XY)=E(X)E(Y)=1/24, [*] 注:命题3.3.1.3 已知(X1,X2)的联合分布律,其中单个随机变量X1与X2分别服从参数为p1,p2的0-1分布,则E(X1)=E(X12)=p1,E(X2)=E(X22)=p2,D(X1)=p1(1-p1),D(X2)=p2(1-p2),E(X1X2)=P(X1=1,X2=1).

解析
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