设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，在X=x(一∞＜x＜+∞)的条件下，随机变量Y服从正态分布N(x，1)，求在Y=y条件下关于X的条件概率密度．

admin2017-10-25 42

问题设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，在X=x(一∞＜x＜+∞)的条件下，随机变量Y服从正态分布N(x，1)，求在Y=y条件下关于X的条件概率密度．

选项

答案依题意，X的概率密度为 f_X(x)=[*]．在X=x的条件下，关于Y的条件概率密度为 f_Y｜X(y｜x)=[*]．根据条件概率密度的定义可得X与Y的联合概率密度为 f(x，y)=f_X(x)．f_Y｜X(y｜x)=[*]．根据二维正态分布的性质可知，二维正态分布(X，y)的边缘分布是一维正态分布，于是y的概率密度为 f_Y(y)=[*]．根据条件密度的定义可得 f_X｜Y(x｜y)=[*]．进一步分析，可将f_X｜Y(x｜y)改写为如下形式： f_X｜Y(x｜y)=[*]．从上面式子可以看出，在Y=y条件下关于X的条件分布是正态分布[*]．

解析依题意已知X的分布及关于Y的条件分布，因此我们很容易求出X与Y的联合分布，然后直接应用条件密度公式求f_X｜Y(x｜y)．

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考研数学三

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