设α1=(1,-1,2,4),α2=(0,3,1,2),α3=(3,0,7,14),α4=(1,-2,2,0),α5=(2,1,5,10). ①求r(α1,α2,α3,α4,α5). ②求一个最大线性无关组,并且把其余向量用它线性表示.

admin2018-06-27  42

问题 设α1=(1,-1,2,4),α2=(0,3,1,2),α3=(3,0,7,14),α4=(1,-2,2,0),α5=(2,1,5,10).
①求r(α1,α2,α3,α4,α5).
②求一个最大线性无关组,并且把其余向量用它线性表示.

选项

答案①构造矩阵A=(α1T,α2T,α3T,α4T,α5T),并对它作初等行变换: [*] 记B和C分别是中间的阶梯形矩阵和右边的简单阶梯形矩阵.B有3个非零行,则 r(α1,α2,α3,α4,α5)=3. ②B的台角在1,2,4列,则α1,α2,α4是α1,α2,α3,α4,α5的一个最大无关组.设C的列向量组为γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,则α1,α2,α3,α4,α5和γ1,γ2,γ3,γ4,γ5有相同线性关系. 显然γ3=3γ12,γ5+2γ12,于是α3=3α12,α5=2α12

解析
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