设f(u，v)具有连续偏导数，且满足fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

admin2019-01-26 50

问题设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f_u’(u，v)+f_v’(u，v)=uv，求y(x)=e^－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

选项

答案方法一：y(x)=e^－2xf(x，x)对x求导得 y’=－2e^－2xf(x，x)+e^－2xf₁’(x，x)+e^－2xf₂’(x，x) =－2e^－2xf(x，x)+e^－2x[f₁’(x，x)+f₂’(x，x)] =－2y+e^－2x[f₁’(x，x)+f₂’(x，x)]，因为f’_u(u，v)+f_v’(u，v)=uv，即f₁’(u，v)+f₂’(u，v)=uv，所以f₁’(x，x)+f₂’(x，x)=x²，因此y’=－2y+x²e^－2x，即y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x²e^－2x。由一阶线性微分方程的通解公式得 [*] 其中C为任意常数。方法二：由y(x)=e^－2xf(x，x)得 f(x，x)=e^2xy(x)，因为f_u’(u，v)+f_v’(u，v)=uv，即f₁’(u，v)+f₂’(u，v)=uv，所以f₁’(x，x)+f₂’(x，x)=x²，即 [*] 将其代入f(x，x)=e^2xy(x)有[e^2xy(x)]’=x²，即 2e^2xy(x)+e^2xy’(x)=x²，化简得 y’(x)+2y(x)=x²e^－2x。由一阶线性微分方程的通解公式得 [*] 其中C为任意常数。

解析

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考研数学二

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设f(u，v)具有连续偏导数，且满足fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

考研数学二

(1990年)在椭圆＝1的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中a＞0，b＞0)．

(2014年)求极限

(1987年)曲线y＝arctanχ在横坐标为1的点处的切线方程是_；法线方程是_．

设函数y=f(x)由参数方程(t＞一1)所确定，其中φ(t)具有二阶导数，且已知=3(1+t)。

试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件．(1)二元函数的极限f(x，y)存在；(2)二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有界；(3)f(x0，y)=f(x0

已知n(n≥3)阶实矩阵A=(aij)n×n满足条件：(1)aij=Aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是aij的代数余子式；(2)a11≠0．求｜A｜．

设b＞a＞e，证明：ab＞ba．

如图1．3—1所示，设曲线方程为y=x2+，梯形OABC的面积为D，曲边梯形OABC的面积为D1，点A的坐标为(a，0)，a＞0，证明：．

设f(x)在[0，]上具有连续的二阶导数，且f’(0)=0．证明：存在ξ，η，ω∈ηsin2ξf"(ω)．

掌握一门外语，仅仅靠短时间的努力是远远不够的。(by)

异烟肼的副作用是

下列情形不属于医疗事故，除了

根据《建设工程监理规范》，下列内容中，不属于监理实施细则的是()。

下列公式中不正确的是(　　)。

中央银行作为“银行的银行”。其面向金融机构提供的服务包括()。①集中保管商业银行的存款准备金②作为商业银行的最后贷款人③组织全国商业银行之间的清算④管理各银行的黄金储备

如果方程cos2x—sinx+a=0在(0，]上有解，求a的取值范围．

“君子忧道不忧贫”，这句话反映了我国古代教育的()特征。

公安执法监督，是法定的监督主体对公安机关及其人民警察()所实施的监督。

在生产资料中属于劳动资料的是()。

设f(u，v)具有连续偏导数，且满足fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

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(1987年)曲线y＝arctanχ在横坐标为1的点处的切线方程是_______；法线方程是_______．

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试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件．(1)二元函数的极限f(x，y)存在；(2)二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有界；(3)f(x0，y)=f(x0

已知n(n≥3)阶实矩阵A=(aij)n×n满足条件：(1)aij=Aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是aij的代数余子式；(2)a11≠0．求｜A｜．

设b＞a＞e，证明：ab＞ba．

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设f(x)在[0，]上具有连续的二阶导数，且f’(0)=0．证明：存在ξ，η，ω∈ηsin2ξf"(ω)．

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下列公式中不正确的是(　　)。