设A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,证明下列结论: (1)aij=AijATA=E且|A|=1; (2)aij=-AijATA=E且|A|=-1.

admin2016-09-19  31

问题 设A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,证明下列结论:
(1)aij=Aij<=>ATA=E且|A|=1;
(2)aij=-Aij<=>ATA=E且|A|=-1.

选项

答案(1)当aij=Aij时,有AT=A*,则ATA=AA*=|A|E.由于A为n阶非零实矩阵,即aij不全为0,所以tr(AAT)=[*]aij2>0.而tr(AAT)=tr(|A|E)=n|A|,这说明|A|>0.在AAT=|A|E两边取行列式,得|A|n-2=1,|A|=1. 反之,若ATA=E且|A|=1,则A*A=|A|E=E且A可逆,于是,ATA=A*A,AT=A*,即aij=Aij. (2)当aij=-Aij时,有AT=-A*,则ATA=-A*A=-|A|E.由于A为n阶非零实矩阵,即aij不全为0,所以|A|=[*]<0.在ATA=-|A|E两边取行列式得|A|=-1. 反之,若ATA=E且|A|=-1,由于A*A=|A|E=-E,于是,ATA=-A*A.进一步,由于A可逆,得AT=-A*,即aij=-Aij

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/uWxRFFFM
0

随机试题
最新回复(0)