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  3. 设f(x)与g(x)在区间[0，1]上都是正值的连续函数，且有相同的单调性．试讨论 的大小关系．

设f(x)与g(x)在区间[0，1]上都是正值的连续函数，且有相同的单调性．试讨论 的大小关系．

admin2020-03-10  52
问题 设f(x)与g(x)在区间[0，1]上都是正值的连续函数，且有相同的单调性．试讨论

的大小关系．
选项
答案[*] 考虑分子，并令 φ(t)=∫0tg(x)f2(x)dx∫0tf(x)dx一∫0tf2(x)dx∫0tg(x)f(x)dx， 有φ(0)=0，且 φ’(t)=g(t)f2(t)∫0tf(x)dx+f(t)∫0tg(x)f2(x)dx-f2(t)∫0tg(x)f(x)dx一g(t)f(t)∫0tf2(x)dx =∫0tf2(t)f(x)[g(t)一g(x)]dx+∫0tf2(x)f(t)[g(x)一g(t)]dx =∫0tf(t)f(x)[f(t)一f(x)][g(t)一g(x)]dx． 题设f(x)与g(x)有相同的单调性，从而知[f(t)一f(x)][g(t)一g(x)]≥0．又因f(t)＞0，f(x)＞0，故当t＞0时，φ’(t)≥0．从而推知当t＞0时，φ(t)≥0，所以I1≥I2．
解析
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考研数学三

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