设三阶矩阵A满足Aαi=iαi(i=1,2,3),其中列向量α1=(1,2,2)T,α2=(2,—2,1)T,α3=(—2,—1,2)T,试求矩阵A。

admin2019-03-23  39

问题 设三阶矩阵A满足Aαi=iαi(i=1,2,3),其中列向量α1=(1,2,2)T,α2=(2,—2,1)T,α3=(—2,—1,2)T,试求矩阵A。

选项

答案由题设条件可得,Aα11,Aα2=2α2,Aα3=3α3,所以α1,α2,α3是矩阵A不同特征值的特征向量,故它们线性无关。利用分块矩阵,则有 A(α1,α2,α3)=(α1,2α2,3α3), 因为矩阵(α1,α2,α3)可逆,故 A=(α1,2α2,3α3)(α1,α2,α3)—1 =[*]

解析 本题主要考查的是已知矩阵的特征值和特征向量,反求矩阵。可直接利用概念求解。当然本题还可以利用相似对角化求解,解法如下:
因为矩阵A有3个不同的特征值,所以A可相似对角化,即存在一个三阶可逆矩阵P,使得
P—1AP=Λ=,P=(α1,α2,α3),
那么A=PΛP—1,进一步求解可得A。
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