2. 考研
  3. 设α，β都是n维列向量时，证明 ①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα． ②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βTα．

设α，β都是n维列向量时，证明 ①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα． ②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βTα．

admin2018-06-27  41
问题 设α，β都是n维列向量时，证明
    ①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα．
    ②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βTα．
选项
答案①方法一 用上例的结论．r(αβT)≤1，因此αβT的特征值为0，0，…，0，tr(αβT)． 设α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T，则αβT的对角线元素为a1b1，a2b2，…，anbn，于是 tr(αβT)=a1b1+a2b2+…+anbn=βTα． 方法二 记A=αβT，则A2=αβTαβT=(βTα)A，于是根据定理5．2的推论，A的特征值都满足等式λ2=(βTα)A，即只可能是0和βTα． 如果βTα=0，则A的特征值都是0． 如果βTα≠0，则根据定理5．3的②，A的所有特征值之和为tr(A)=βTα，它们一定是n-1个为0，一个为βTα． ②仍记A=αβT，则Aα=αβTα=(βTα)α，因此则α是A的特征向量，特征值为βTα．
解析
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考研数学二

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