设随机变量U在[－3，3]上服从均匀分布，记随机变量 (Ⅰ)求Cov(X，Y)，并判断随机变量X与Y的独立性； (Ⅱ)求D[(1＋X)Y]。

admin2019-01-25 48

问题设随机变量U在[－3，3]上服从均匀分布，记随机变量

(Ⅰ)求Cov(X，Y)，并判断随机变量X与Y的独立性；
(Ⅱ)求D[(1＋X)Y]。

选项

答案(Ⅰ)已知X和Y的全部取值只有－1和1，且 [*] P{X＝－1，Y＝1}＝P{U≤－2，U＞1}＝0， [*] 因此(X，Y)的分布律及边缘分布律为 [*] 根据相互独立的性质可知随机变量X和Y不独立。 (Ⅱ)根据随机变量乘积的方差公式 D[(1＋X)Y]＝D(y＋XY)＝D(Y)＋D(XY)＋2Cov(Y，XY) ＝D(Y)＋D(XY)＋2E(XYz)-2E(Y)E(XY)，由上一问可知[*]，因此 [*] 通过计算可得随机变量XY和XY²的分布律如下 [*] 因此可分别计算得 [*]

解析本题考查协方差的计算、独立性的判断及随机变量乘积的方差的计算。先通过已知条件写出(X，Y)的分布律及边缘分布律，然后计算X和Y的期望，利用公式Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)计算协方差，并通过判断协方差是否等于0验证X和Y是否独立。

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考研数学三

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