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  3. 设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量；

设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量；

admin2019-12-26  20
问题 设n阶矩阵
     
求A的特征值和特征向量；
选项
答案当b=0或n=1时，A=E，于是A的特征值为λ1=…=λn=1，任意非零列向量均为特征向量；对任意n阶可逆矩阵P，均有P－1AP=E． 下面考虑b≠0且n≥2的情形．由 [*] 得A的特征值为λ1=1+(n－1)b，λ2=…=λn=1－b． 1对于λ1=1+(n－1)b，考虑齐次线性方程组(λ1E－A)x=0，对λ1E-A施以初等行变换，得 [*] 解得基础解系为ξ1=(1，1，…，1)T，所以A的属于λ1的全部特征向量为 k1ξ1=k(1，1，…，1)T(k1为任意非零常数)． 对于λ2=…=λn=1－b，考虑齐次线性方程组(λ2E－A)x=0．对λ2E-A施以初等行变换，得 [*] 解得基础解系为 ξ2=(1，－1，0，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，－1)T， 故A的属于λ2的全部特征向量为 k2ξ2+k2ξ3+…+knξn(k2，k3，…，kn是不全为零的常数)．
解析
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考研数学三

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