设A,B,C均是3阶矩阵,满足AB=-2B,CAT=2C. 其中 (Ⅰ)求A; (Ⅱ)证明:对任何3维向量ξ,A100ξ与ξ必线性相关.

admin2020-05-19  37

问题 设A,B,C均是3阶矩阵,满足AB=-2B,CAT=2C.
其中
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)证明:对任何3维向量ξ,A100ξ与ξ必线性相关.

选项

答案由题设条件①AB=一2B,将B按列分块,设B=(β1,β2,β3),则有A(β1,β2,β3)=一2(β1,β2,β3),即Aβi=一2βi,i=1,2,3,故βi(i=1,2,3)是A的对应于λ=一2的特征向量.又因β1,β2线性无关,β312,故β1,β2是A的属于λ=一2的线性无关特征向量.②CAT=2C,两边转置得ACT=2CT,将CT按列分块,设CT=(α1,α2,α3),则有A(α1,α2,α3)=2(α1,α2,α3),Aαi=2αi,i=1,2,3,故αi(i=1,2,3)是A的属于λ=2的特征向量,因α1,α2,α3互成比例,故α1是A的属于特征值λ=2的线性无关的特征向量. 取P=(β1,β2,α1),则P可逆,且 [*] (Ⅱ)因Aβi=一2βi(i=1,2),故A100βi=(一2)100βi=2100βi(i=1,2),Aα1=2α1,故A100α1=2100α1. 对任意的3维向量ξ,因β1,β2,α1线性无关,考可由β1,β2,α1线性表示,且表示法唯一. 设ξ=μ1β12β23α1,则 A100ξ=A1001β12β23α1)=μ1A100β12A100β23A100α112100β122100β232100α1=21001β12β23a1)=2100ξ. 得证A100ξ和ξ成比例,A100ξ和ξ线性相关.

解析
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