设A是n阶矩阵,k为正整数,α是齐次方程组AkX=0的一个解,但是Ak-1α≠0.证明α,Aα,…,Ak-1α线性无关.

admin2018-04-18  34

问题 设A是n阶矩阵,k为正整数,α是齐次方程组AkX=0的一个解,但是Ak-1α≠0.证明α,Aα,…,Ak-1α线性无关.

选项

答案用定义证明. 方法一 设c1α+c2Aα+…+ckAk-1α=0,要推出每个ci=0. 先用Ak-1乘上式两边,注意到当m≥k时,Amα=0(因为AkX=0),得到c1Ak-1α=0.又因为Ak-1α≠0,所以c1=0.上式变为c2Aα+…+ckAk-1α=0.再用Ak-2乘之,可得到c2=0.如此进行下去,可证明每个ci=0. 方法二 用反证法.如果α,Aα,…,Ak-1α线性相关,则存在不全为0的c1,c2,…,ck,使得c1α+c2Aα+…+ckAk-1α=0,设其中第一个不为0的系数是ci,则ciAi-1α+…+ckAk-1α=0,用Ak-i乘之,得ciAk-1α=0.从而Ak-1α=0,与条件矛盾.

解析
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