[2014年] 已知函数f(x,y)满足=2(y+1),且f(y,y)=(y+1)2一(2一y)lny,求曲线f(x,y)=0所围图形绕直线y=一1旋转所成旋转体的体积.

admin2019-04-05  49

问题 [2014年]  已知函数f(x,y)满足=2(y+1),且f(y,y)=(y+1)2一(2一y)lny,求曲线f(x,y)=0所围图形绕直线y=一1旋转所成旋转体的体积.

选项

答案按平面图形绕平行于坐标轴y=一1的直线旋转所得的体积公式(1.3.5.8): V=π∫12[y一(一1)]dx求之,为此需先求出(y+1)2的表达式. 在[*]=2(y+1)两边对y积分得到f(x,y)=y2+2y+c(x).又由题设有 f(y,y)=(y+1)2-(2一y)lny,因而(y+1)2一(2一y)lny=y2+2y+c(y). 则C(y)=1一(2一y)[ny,于是C(x)=1一(2一x)lnx,因而 f(x,y)=y2+2y+1一(2-x)lnx=(y+1)2一(2-x)lnx. 曲线f(x,y)=0即(y+1)2=(2一x)lnx,注意到(y+1)2≥0,有x∈[1,2].于是所求的旋转体体积为 V=∫12π(y+1)2dx=π∫12(2一x)lnxdx=π∫122lnxdx一[*]∫12lnxdx2 =2π(xlnx∣12·∫12x·[*]dx)—[*](x2lnx∣12—∫12x2·[*]dx) =2π(2ln2—1)一[*].

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/tILRFFFM
0

最新回复(0)