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设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)。若∫0f(x)g(t)dt=x2ex，求f(x)。
设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)。若∫0f(x)g(t)dt=x2ex，求f(x)。
admin
2018-04-14
43
问题
设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)。若∫
0
f(x)
g(t)dt=x
2
e
x
，求f(x)。
选项
答案
f(x)的反函数是g(x)，根据反函数的性质有g[f(x)]=x，∫
0
f(x)
g(t)dt=x
2
e
x
两边对x求导，有 (∫
0
f(x)
g(t)dt)’=(x
2
e
x
)’[*]g[f(x)]f’(x)=x
2
e
x
+2xe
x
， 又g[f(x)]=x，所以 xf’(x)=x
2
e
x
+2xe
x
[*]f’(x)=xe
x
+2e
x
，x∈(0，+∞)， 两边积分∫f’(x)dx=∫(xe
x
+2e
x
)dx[*]f(x)=∫xe
x
dx+∫2e
x
dx [*]f(x)=∫xde
x
+2e
x
[*]xe
x
－∫e
x
dx+2e
x
[*]f(x)=xe
x
－e
x
+2e
x
+C[*]f(x)=xe
x
+e
x
+C。 由于题设f(x)在[0，+∞)上可导，所以在x=0处连续，故 f(0)=[*](xe
x
+e
x
+C)=1+C=0， 所以C=－1，于是 f(x)=xe
x
+e
x
－1，x∈[0，+∞)。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/tDdRFFFM
0
考研数学二
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