[2011年] 设函数f(x),g(x)均有二阶连续导数,满足f(0)>0,g(0)<0,且f′(0)=g′(0)=0,则函数z=f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ).

admin2019-04-05  46

问题 [2011年]  设函数f(x),g(x)均有二阶连续导数,满足f(0)>0,g(0)<0,且f′(0)=g′(0)=0,则函数z=f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是(    ).

选项 A、f″(0)<0,g″(0)>0
B、f″(0)<0,g″(0)<0
C、f″(0)>0,g″(0)>0
D、f″(0)>0,g″(0)<0

答案A

解析 先由题设条件求出函数的二阶导数,再利用命题1.4.3.2判别之.
=f′(x)g(y),=f(x)g′(y),=f″(x)g (y),
=f′(x)g′(y),=f(x)g″(y).
由于f′(0)=0,g′(0)=0,有=0,即点(0,0)为z=f(x)g(y)的一个驻点.在点(0,0)处,有
A==f(0)g(0),B==f′(0)g′(0)=0,C==f(0)g″(0),
则    B2一AC=0一f″(0)g(0)f(0)g″(0).
    为使z=f(x)g(y)在(0,0)处取得极小值应有B2-AC<0,且A>0,即f″(0)g(0)>0,因g(0)<0,故f″(0)<0.
    为使B2一AC=-f″(0)g(0)f(0)g″(0)<0,因f(0)>0,g(0)<0,f″(0)<0,故g″(0)>0.
综上得f″(0)<0,g″(0)>0.仅(A)入选.
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