设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax12+2x22一2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12. 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

admin2016-01-11  47

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax12+2x22一2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12.
利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

选项

答案由矩阵A的特征多项式[*]得A的特征值λ12=2,λ3=一3.对于λ12=2,解齐次线性方程组(2E一A)x=0,得其基础解系ξ1=(2,0,1)T,ξ2=(0,1,0)T. 对于λ3=一3,解齐次线性方程组(一3E一A)x=0,得基础解系ξ3=(1,0,一2)T.由于ξ1,ξ2,ξ3已是正交向量组,为得到规范正交向量组,只需将ξ1,ξ2,ξ3单位化,由此得[*]令矩阵[*]则Q为正交矩阵,在正交变换x=Qy下,有[*]且二次型的标准形为f=2y12+2y22—3y32

解析 本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法,特征值与特征向量的计算与性质.首先写出二次型f的矩阵A,利用特征值与行列式、迹之间的关系,求出a,b的值.此时该题成为一道常规题了.
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