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求下列幂级数的收敛域或收敛区间: (Ⅰ)xn-1; (Ⅱ)x2n; (Ⅲ)anxn的收敛半径R=3;(只求收敛区间) (Ⅳ)an(x-3)n,其中x=0时收敛,x=6时发散.
求下列幂级数的收敛域或收敛区间: (Ⅰ)xn-1; (Ⅱ)x2n; (Ⅲ)anxn的收敛半径R=3;(只求收敛区间) (Ⅳ)an(x-3)n,其中x=0时收敛,x=6时发散.
admin
2016-10-26
55
问题
求下列幂级数的收敛域或收敛区间:
(Ⅰ)
x
n-1
;
(Ⅱ)
x
2n
;
(Ⅲ)
a
n
x
n
的收敛半径R=3;(只求收敛区间)
(Ⅳ)
a
n
(x-3)
n
,其中x=0时收敛,x=6时发散.
选项
答案
(Ⅰ)[*]x
n
有相同的收敛半径,可以用求收敛半径公式即(11.3)式计算收敛半径.首先计算 [*] (Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a
2n-1
=0,n=1,2,…),所以不能直接用求收敛半径公式,求收敛半径R.一般有两种方法: 方法1°它是函数项级数,可直接用根值判别法.由于 [*] 因此R=[*] 方法2°作变量替换t=x
2
,原级数变成[*]t
n
,对此级数用求收敛半径R的公式: [*] 因此,此级数发散.所以原级数的收敛域为[*] (Ⅲ)[*],由幂级数收敛性的特点知,[*]na
n
(x-1)
n+1
与[*]a
n
(x-1)
n
有相同的收敛半径R=3.因而其收敛区间为(-2,4). (Ⅳ)考察[*]a
n
t
n
,由题设t=-3时它收敛[*]收敛半径R≥3,又t=3时其发散[*]R≤3.因此R=3,[*]a
n
t
n
的收敛域是[-3,3),原级数的收敛域是[0,6).
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/t8wRFFFM
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考研数学一
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