设矩阵A=，且A3=0． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)若矩阵X满足X－XA2－AX+AXA2=E，其中E为3阶单位矩阵，求X．

admin2018-07-26 38

问题设矩阵A=

，且A³=0．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若矩阵X满足X－XA²－AX+AXA²=E，其中E为3阶单位矩阵，求X．

选项

答案(Ⅰ)由A³=O两端取行列式，得|A|³=0，从而得|A|=0，而|A|=a³，所以a=0． (Ⅱ)1由已知的X－XA²－AX+AXA²=E，得 X(E－A²)－AX(E－A²)=E 即(E－A)X(E－A²)=E 由(Ⅰ)知 [*] 由于E－A，E－A²均可逆，所以 X=(E－A)^－1(E－A²)^－1 [*] 2同1一样可得 (E－A)X(E－A²)=E 所以 X=(E－A)^－1(E－A²)^－1=[E－A²)(E－A)]^－1 =[E－A－A²+A³]^－1=[E－A－A²]^－1 由(Ⅰ)知 E－A－A² [*] 所以 X=(E－A－A²)^－1 [*]

解析

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考研数学三

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