设f(x)为[0,1]上单调减少的连续函数,且f(x)>0,试证:存在唯一的点ξ∈(0,1),使得∫0ξ f(x)dx=(1-ξ)f( ξ) .

admin2017-05-31  23

问题 设f(x)为[0,1]上单调减少的连续函数,且f(x)>0,试证:存在唯一的点ξ∈(0,1),使得∫0ξ f(x)dx=(1-ξ)f( ξ) .

选项

答案令φ(x)=(1一x)F(x)=∫0xf(t)dt—x∫0xf(t)dt,则φ(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且φ(0)=φ(1)=0. 由洛尔定理,存在点ξ∈(0,1),使得φ’(ξ)=0,即f(ξ)一∫0ξf(t)dt—ξf(ξ)=0,故有∫0ξf(t)dt=(1一ξ)f(ξ) 用反证法证明唯一性. 假若在(0,1)内存在点ξ1、ξ2,不妨设ξ1<ξ2,使[*]两式相减得: [*] 由已知条件可知,上式的左边大于零,而右边小于零矛盾,故点ξ是唯一的.

解析 记F(x)=∫0xf(t)dt,欲证存在点ξ,使得F(ξ)=(1—ξ)F’(ξ)F(x)=(1-x)F’(x).解变量可分离的微分方程得
即(1一x)F(x)=c.
    作辅助函数φ(x)=(1一x)F(x),用洛尔定理证明.
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