η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明: η*,ξ1,…,ξn-r线性无关;

admin2019-01-19  40

问题 η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明:
η*,ξ1,…,ξn-r线性无关;

选项

答案假设η*,ξ1,…,ξn-r线性相关,则存在不全为零的数c0,c1,…,cn-r使得 c0η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0, (1) 用矩阵A左乘上式两边,得 0=A(c0η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r)=c0η*+c11+…+cn-rn-r=c0b, 其中b≠0,则c0=0,于是(1)式变为 c1ξ1+…+cn-rξn-r=0, ξ1,…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故ξ1,ξn-r线性无关,因此c1=c2=…=cn-r=0,与假设矛盾。 所以η*,ξ1,…,ξn-r线性无关。

解析
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