设A4×4是实对称矩阵,|A|=-16,A的4个特征值之和为4,且α=(1,0,-2,-1)T是方程组(A*-8E)x=0的一个解向量,且矩阵A的一个特征值为2。 (Ⅰ)求矩阵A的所有特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得A可以相似对角化;

admin2019-01-25  38

问题 设A4×4是实对称矩阵,|A|=-16,A的4个特征值之和为4,且α=(1,0,-2,-1)T是方程组(A*-8E)x=0的一个解向量,且矩阵A的一个特征值为2。
    (Ⅰ)求矩阵A的所有特征值;
    (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得A可以相似对角化;
    (Ⅲ)求方程组(A*+8E)x=0的通解。

选项

答案(Ⅰ)α=(1,0,-2,-1)T是方程组(A*-8E)x=0的一个解向量,则(A*-8E)α=0,即 A*α=8α,又 A*A=AA*=|A|E=-16E, 故AA*α=8Aα=-16a,因此Aα=-2α,所以α=(1,0,-2,-1)T。是A的对应特征值λ3=-2的特征向量。 设A的除-2和2之外的两个特征值为λ1,λ2,则 2+(-2)+λ1+λ2=4,2×(-2)λ1λ2=|A|=-16, 解得λ1=λ2=2。因此矩阵A的所有特征值分别为2(三重)和-2。 (Ⅱ)设特征值2(三重)对应的特征向量为x=(x1,x2,x3,x4)T,则它与α=(1,0,-2,-1)T正交,即x1-23-x4=0,其基础解系为 α1=(0,1,0,0)T,α2=(2,0,1,0)T,α3=(1,0,0,1)T, [*] (Ⅲ)由(A*+8E)x=0可得(AA*+8A)x=0,进一步有(8A-16E)x=0,即方程最终化为(A-2E)x=0,因此方程组(A*+8E)x=0的基础解系即为矩阵4属于特征值2的三个线性无关的特征向量,因此可得其通解为 x=k1(0,1,0,0)T+k2(2,0,1,0)T+k3(1,0,0,1)T,k1,k2,k3为任意常数。

解析 第一问求矩阵A,已知该矩阵是一个实对称矩阵,所以考虑实对称矩阵相似对角化的逆运用,需要根据已知条件找到矩阵A的所有特征值和特征向量;第二问直接将A的所有特征向量排列为矩阵,即得可逆矩阵P;第三问求关于伴随矩阵A*的一个矩阵方程,必然要应用第一问的结果,故需利用公式A*A=AA*=|A|E将方程组进行等价变形转化为关于A的方程组之后再求解。
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