设二次型xTAx=ax12+2x22－x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，实对称矩阵A满足AB=O，其中B= (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换： (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

admin2017-11-30 31

问题设二次型x^TAx=ax₁²+2x₂²－x₃²+8x₁x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃，实对称矩阵A满足AB=O，其中B=

(Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换：
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

选项

答案(Ⅰ)二次型对应的实对称矩阵为A=[*]，因为AB=O，所以 [*] 下面求A的特征值 [*] A的特征值为0，6，－6。当λ=0时，求解线性方程组(0E－A)x=0，解得α₁=(1，0，1)^T；当λ=6时，求解线性方程组(6E－A)x=0，解得α₂=(－1，－2，1)^T；当λ=－6时，求解线性方程组(－6E－A)x=0，解得α₃=(－1，1，1)^T。下将α₁，α₂，α₃单位化 [*] 则二次型在正交变换x=Qy的标准形为f=6y₂²－6y₃²，其中 [*] (Ⅱ)矩阵A与B不合同。因为r(A)=2，r(B)=1，由合同的必要条件可知矩阵A与B不合同。

解析

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考研数学三

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设二次型xTAx=ax12+2x22－x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，实对称矩阵A满足AB=O，其中B= (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换： (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

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