2. 考研
  3. 设曲线L位于Oχy平面的第一象限内，过L上任意一点M处自切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，若L过点()，求L的方程．

设曲线L位于Oχy平面的第一象限内，过L上任意一点M处自切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，若L过点()，求L的方程．

admin2016-10-21  31
问题 设曲线L位于Oχy平面的第一象限内，过L上任意一点M处自切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，若L过点()，求L的方程．
选项
答案设L的方程为y＝y(χ)，过点M(χ，y(χ))的切线与y轴的交点为A(0，y(χ)－χy′(χ))，又 [*]＝χ2＋[y(χ)－(y(χ)－χy′(χ))]2＝χ2＋χ2y′2， [*]＝(y－χy′)2， 按题意得χ2＋χ2y′2＝(y－χy′)2，即2χyy′－y2＝－χ2． 又初始条件[*]． 这是齐次方程y′－[*]，令u＝[*]上，则方程化成 [*] 分离变量得[*] 积分得ln(1＋u2)＝－lnχC1，1＋u2＝[*]． 代入u＝[*]得y2＋χ2＝Cχ． 由初始条件[*]，得C＝3． 因此L的方程为y2＋χ2＝3χ．
解析
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考研数学二

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