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设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且φ’(x)=φ(x),φ(0)=0. (1)求方程y’+ysinx=φ(x)ecosx的通解; (2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.
设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且φ’(x)=φ(x),φ(0)=0. (1)求方程y’+ysinx=φ(x)ecosx的通解; (2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.
admin
2018-09-25
40
问题
设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且φ’(x)=φ(x),φ(0)=0.
(1)求方程y’+ysinx=φ(x)e
cosx
的通解;
(2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.
选项
答案
本题考查微分方程的求解与解的讨论,尤其是(2)关于解的讨论,是考试中的重点,请复习备考的学生重视. (1)该方程为一阶非齐次线性微分方程,通解为 y=e
-∫sin xdx
[∫φ(x)e
cos x
e
∫sin xdx
dx+C]=e
cos x
[∫φ(x)e
cos x
.e
-cos x
dx+C] =e
cos x
[∫φ(x)dx+C]=e
cos x
[Ф(x)+C](C为任意常数). (2)因通解中
cos x
为2 π为周期的函数,故只需Ф(x+2π)=Ф(x)即可.因为Ф’(x)=φ(x),所以Ф(x)=∫
0
x
φ(t)dt+C
1
,又Ф((0)=0,于是Ф(x)=∫
0
x
φ(t)dt.而 Ф(x+2π)=∫
0
x+2π
φ(t)dt=∫
0
x
φ(t)dt+∫
x
x+2π
φ(t)dt=Ф(x)+∫
0
2π
φ(t)dt, 所以,当∫
0
2π
φ(t)dt,时,Ф(x+2π)=Ф(x),即Ф(x)以2π为周期. 因此,当∫
0
2π
φ(t)dt=0时,方程有以2π为周期的解.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/sQ2RFFFM
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