设c1，c2，…，cn均为非零实常数，A＝(aij)n×n为正定矩阵，令bij＝aijcicj(i，j＝1，2，…，n)，矩阵B＝(bij)n×n，证明矩阵B为正定矩阵．

admin2017-06-26 31

问题设c₁，c₂，…，c_n均为非零实常数，A＝(a_ij)_n×n为正定矩阵，令b_ij＝a_ijc_ic_j(i，j＝1，2，…，n)，矩阵B＝(b_ij)_n×n，证明矩阵B为正定矩阵．

选项

答案令矩阵C＝[*]则C可逆，注意用对角矩阵C左(右)乘矩阵A，等于用C的主对角线元素依次乘A的各行(列)，于是有 [*] 即B与正定阵A合同，故B正定(事实上，[*]χ∈Rⁿ，χ≠0，由C可逆知Cχ≠0，再由A正定知(Cχ)^TA(Cχ)＞0，即χ^T(C^TAC)χ＝χ^TBχ＞0，故B正定)．

解析

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考研数学三

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