(Ⅰ)设f(x1,x2,x3)一x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3,用可逆线性变换将f化为规范形,并求出所作的可逆线性变换.并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵; (Ⅱ)设求可逆矩阵D,使A=DTD.

admin2020-01-15  30

问题 (Ⅰ)设f(x1,x2,x3)一x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3,用可逆线性变换将f化为规范形,并求出所作的可逆线性变换.并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵;
(Ⅱ)设求可逆矩阵D,使A=DTD.

选项

答案(1)将f(x1,x2,x3)用配方法化为标准形,得 f(x1,x2,x3)=x12+2x22+6x23一2x1x2+2x1x3一6x2x3一(x1-x2+x3)2+x22+5x23一4x2x3 =(x1-x2+x3)2+(x2—2x3)2+x23. 得厂的标准形为f(x1,x2,x3)=y12+y22+y32.[*] 所作的可逆线性变换为x=Cy,其中C=[*] A对应的二次型的规范形为y12+y22+y32,正惯性指数P=3=r(A),故知A是正定矩阵(也可用定 义证明,或用顺序主子式全部大于零证明A是正定矩阵). (Ⅱ)由(Ⅰ)知,[*]是f(x1,x2,x3)的对应矩阵,即 f(x1,x2,x3)=xTAx. 令x=Cy,其中[*],得f=xTAx=yTCTACy=yTEy, 故CTAC=E,A=(C-1)TC-1=DTD,其中D=C-1. [*]

解析
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