设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=,又A*a=a,其中a=(1,1,-1)T. (I)求矩阵A; (Ⅱ)求正交矩阵Q,使得经过正交变换X=QY,二次型f(x1,x2,x3)=XTXTAX化为标准形

admin2016-03-26  18

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=,又A*a=a,其中a=(1,1,-1)T
(I)求矩阵A;
(Ⅱ)求正交矩阵Q,使得经过正交变换X=QY,二次型f(x1,x2,x3)=XTXTAX化为标准形

选项

答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ1=2,λ2=一1,λ3=一1,| A|=2,伴随矩阵A*的特征值为μ1=1,μ2=一2,μ3=一2.由A*a=a得AA*a=Aa,即Aa=2a,即a=(1,1,一1)T是矩阵A的对应于特征值λ1=2的特征向量. 令ξ=(x1,x2,x3)t为矩阵A的对应于特征值λ2=一1,λ3=一1的特征向量,因为A为实对称矩阵,所以aTξ=0,即x1+x2一x3=0,于是λ2=一1,λ3=一1对应的线性无关的特征向量为[*]. 令P=(a,a2,a3)=[*],由p-1AP=[*], 得A=P[*1395] (Ⅱ)令β1=[*] 再令γ1=[*] 则f(x1,x2,x3)=[*].

解析
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