设有两个非零矩阵A=[a1,a2,…,an]T,B=[b1,b2,…,bn]T. (1)计算ABT与ATB; (2)求矩阵ABT的秩r(ABT); (3)设C=E一ABT,其中E为n阶单位阵.证明:CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1.

admin2017-07-10  48

问题 设有两个非零矩阵A=[a1,a2,…,an]T,B=[b1,b2,…,bn]T
(1)计算ABT与ATB;
(2)求矩阵ABT的秩r(ABT);
(3)设C=E一ABT,其中E为n阶单位阵.证明:CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1.

选项

答案(1)ABT=[*],AT=a1b1+a2b2+anbn. (2)因ABT各行(或列)是第1行(列)的倍数,又A,B皆为非零矩阵,故r(ABT)=1. (3)由于CTC=(E一ABT)T(E一ABT)=(E一BAT)(E一ABT)=E一BAT一ABT+BATABT. 故若要求CTC=E一BAT一ABT+BBT,则BATABT一BBT=O,B(ATA一1)BT=O,即 (ATA一1)BBT=O. 因为B≠O,所以BBT≠O.故CTC=E一BAT一ABT+BBT的充要条件是ATA=1.

解析
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