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  3. 已知(1，－1，1，－1)T是线性方程组 的一个解，试求 (1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足x2=x3的全部解．

已知(1，－1，1，－1)T是线性方程组 的一个解，试求 (1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足x2=x3的全部解．

admin2019-03-12  74
问题 已知(1，－1，1，－1)T是线性方程组

的一个解，试求
(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；
(2)该方程组满足x2=x3的全部解．
选项
答案将解向量x=(1，－1，1，－1)T代入方程组，得λ=μ，对方程组的增广矩阵施行初等行变换： [*] (1)当λ≠1／2时，有 [*] 因r(A)=r([*])=3＜4，故方程组有无穷多解，全部解为 x=(0，－1／2，1／2，0)T+k(－2，1，－1，2)T，其中k为任意常数． 当λ=1／2时，有 [*] 因r(A)=r([*])=2＜4，故方程组有无穷多解，全部解为 x=(－1／2，1，0，0)T+k1(1，－3，1，0)T+k2(－1，－2，0，2)T，其中k1，k2为任意常数． (2)当λ≠1／2时，由于x2=x3，即－[*]－k，解得k=1／2，故此时，方程组的解为x=(0，－1／2，1／2，0)T+[*](－2，1，－1，2)T=(－1，0，0，1)T． 当λ=1／2时，由于x2=x3，即1－3k1－2k2=k1，解得k2=[*]=2k1，故此时全部解为x=(－1／2，1，0，0)T+k1(1，－3，1，0)T+([*]－2k1)(－1，－2，0，2)T=(－1，0，0，1)T+k1(3，1，1，－4)T．
解析
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考研数学三

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