[2002年] 微分方程yy"+y′2=0满足初始条件y∣x=1=1,y′∣x=1=1/2的特解是________.

admin2021-01-19  59

问题 [2002年]  微分方程yy"+y′2=0满足初始条件y∣x=1=1,y′∣x=1=1/2的特解是________.

选项

答案 因所给方程为不显含自变量x的可降阶方程.令y′=P(y),则y"=p[*],将其代入原方程即可求得其解.也可用凑导数法求之. 解一 令y′=P(y),则y"=P[*],代入原方程,得到p(y[*]+p)=0.因p=0不满足初始条件,应舍去,得到[*].积分后得到p=[*],将初始条件代入得到C1=[*]再对[*],即2ydy=dx积分,得到y2=x+C2,代入初始条件得出C2=1,于是y2=x+1.再由y∣x=1=1得到特解y=[*]. 解二 用凑导数法解之.原方程可化为(yy′)′=0,两边积分得到∫(yy′)′dx=C1,即 yy′=C1.由所给的初始条件易求得C1=1/2,于是yy′=1/2.两边积分得到 ∫yy′dx=∫ydy=[*]x+C2, 即[*]+C2. 由初始条件y∣x=1=1,得到C2=1/2,于是有 y2=x+l, 即 y=[*](因y∣x=1>0).

解析
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